Sonntag, April 15, 2007

Warum funktioniert die Mitternachtsformel*?

vor längerer Zeit habe ich das Buch Der Rechenmeister gelesen, in dem der Wettlauf italienischer Mathematiker um die Findung einer Lösungsformel für kubische Gleichungen erzählt wird.
In einem Kapitel findet sich die Erklärung warum die Lösungsformel für quadratische Gleichungen funktioniert und ich war vollkommen begeistert, weil es einen einfachen geometrischen Beweis dafür gibt, den man schon in der Schule hätte verstehen können.
Ich gebe zu, dass ich damals nicht verstanden habe, was die Formel tut, aber immerhin konnte ich damit die gestellten Aufgaben lösen.

Angenommen man hat die Gleichung
x^2 + 2x - 8 = 0

Dann ist
x^2 + 2x = 8
oder in Worten:
Ich denke mir eine Zahl und nehme sie mit sich selbst mal und zähle die Zahl noch zweimal
dazu; das ergibt 8. Um welche Zahl handelt es sich?

Geometrisch sieht das dann so aus:

Die Fläche des roten Quadrats ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen wurde,
die Fläche des grünen Quadrats ist gerade zweimal die gesuchte Zahl. Die Fläche beider
Vierecke zusammen ist 8.
So kommt man ohne Raten vermutlich nicht auf die gesuchte Lösung. Also manipulieren wir ein wenig an der Skizze herum.



Man könnte ja das grüne Rechteck in zwei kleinere grüne Rechtecke zerlegen und so um das rote Quadrat verteilen. Die Fläche der drei Vierecke zusammen ist immer noch 8.

Die Lücke in der rechten oberen Ecke schreit ja beinahe danach ausgemalt zu werden.



Jetzt kann man sich überlegen, dass die blaue Fläche gerade 1*1=1 ist.
Dann ist aber die Fläche des großen Quadrats gerade 8+1 = 9.



Die neue Frage lautet also wie groß ist die Seitenlänge eines grauen Quadrats mit Flächeninhalt 9. Nach etwas knobeln, kann man sich wohl auf die Zahl 3 einigen.
Mit diesem Wissen schauen wir nochmal auf das vorherige Bild und überlegen uns wie groß wohl x ist, wenn x+1 = 3 ist.
Ein kurzer Blick auf die Finger sollte genügen um auf x=2 zu kommen.
Wenn wir das in die erste Gleichung einsetzen ergibt sich:
2^2 + 2*2 - 8 = 0.

Gratulation, mit diesem Wissen wärst du im Mittelalter
ein Weltklassemathematiker gewesen! :-)

Unsere Gleichung war
x^2 + 2x - 8 = 0
Die allgemeine Gleichung heißt
ax^2 +bx +c = 0
als ist unser
a=1
b=2
c=-8

Wenn man sich die Lösungsformel nochmal anschaut, sieht man dass sie genau dies Schritte macht, die wir gemacht haben. Der Term unter der Wurzel ist unser graues Quadrat.
Die Differenz im Zähler ist der Schritt, den man sich an den Fingern abzählen kann,
das a im Nenner ist eine Normierung und die 2 im Nenner stammt aus der Wurzel.




* Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Der Name Mitternachtsformel ist darauf zurückzuführen,
dass man - sollte man um Mitternacht geweckt werden diese
Formel murmeln können muss.

Da die heutige Jugend vermutlich eh nicht vor Mitternacht
ins Bett geht, ist dieser Name vermutlich bald nicht
mehr aktuell und Leute dazu zu zwingen etwas auswendig zu lernen ohne es zu verstehen war sowieso schon immer eine dumme Idee. :-)

Kommentare:

Miss Sophie hat gesagt…

Ich kannte die Formel immer nur unter dem Namen "p-q-Formel", ich glaube fast, daß es da regionale Unterschiede gibt. Den Namen "Mitternachtsformel" kenne ich eigentlich erst seit einem Jahr. Wobei mein alter Mathelehrer immer ausgerastet ist, wenn man "Formel" gesagt hat, weil es keine Formel war. (Genau Begründung hab ich nie ganz kapiert. Vielleicht ist es wie beim Satzvon Pythagoras: a^2+b^2=c^2 macht ohne Erklärungen, was a, b und c sind auch keinen Sinn.)

In der Schule hab ich mir lieber die Formel gemerkt als die quadratische Ergänzung, was gegen meine Eignung als Mathematikerin spricht, finde ich. Eine zusätzliche geometrische Erklärung hätte ich aber wirklich gut gefunden.

Das Buch habe ich übrigens auch mal gelesen, fand es dann aber im großen und ganzen nicht so gelungen.

Im Studium hat einer meiner Statistikprofs das Konzept der Mitternachtsformel übrigens aufgegriffen. Er pflegte zu sagen, diese Formel müßten wir auch können, wenn wir nachts um drei geweckt würden. Das ist schon mal realistischer als Mitternacht, aber generell scheint mir "morgens um acht" für Studenten die gruseligste Zeit zu sein ;-)

Ratilius hat gesagt…

... und dann gibt es da noch die Leute, die leicht herablassend sagen: Das sieht man doch direkt mit dem Satz von Vieta.

alex hat gesagt…

ich fin deinen blog gut
hat mir irgenwie ziemlich bei meinem referat über quadratische gleichungen geholfen

thx a lot :)